在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点.

1. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点 $\text{[math]}$ .

(1) 直接写出抛物线的解析式.

(2) 如图，将抛物线 $\text{[math]}$ 向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C.判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由.

(3) 直线BC与抛物线 $\text{[math]}$ 交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.

(4) 若将抛物线 $\text{[math]}$ 进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线 $\text{[math]}$ 平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标.

【考点】

二次函数图象的几何变换; 待定系数法求二次函数解析式; 勾股定理的逆定理; 相似三角形的判定与性质; 二次函数与一次函数的综合应用;

【答案】

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综合题困难

乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：

水平距离x/cm	0	10	50	90	130	170	230
竖直高度y/cm	28.75	33	45	49	45	33	0

②求满足条件的抛物线解析式：

综合题普通

如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1	我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体 $\text{[math]}$ 上，另一端固定在墙体 $\text{[math]}$ 上，其横截面有2根支架 $\text{[math]}$ ，相关数据如图2所示，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
素材2	已知大棚有200根长为 $\text{[math]}$ 的支架和200根长为 $\text{[math]}$ 的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．
问题解决
任务1	确定大棚形状	在图2中以点O为原点， $\text{[math]}$ 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2	尝试改造方案	当 $\text{[math]}$ 米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．
任务3	拟定最优方案	只考虑经费情况下，求出 $\text{[math]}$ 的最大值．