下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．）

1. 下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 交正方形外角的平分线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．求证 $\text{[math]}$ ．（提示：取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．）

(1) 请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：；

(2) 如图1，若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上任意一点（不与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合），其他条件不变．求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，并给予证明．

【考点】

三角形全等及其性质; 正方形的性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题普通

1. 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．

观察猜想：如图（1），当点D在线段BC上时，

①BC与CF的位置关系是：；

②BC、CD、CF之间的数量关系为：（将结论直接写在横线上）

数学思考：如图（2），当点D在线段CB的延长线上时，上述①、②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

综合题普通

2. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上两点， $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线，求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

综合题普通

3. 已知正方形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．

(1) 如图1，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个四边形，使写出的每个四边形的面积都相等且都等于正方形面积的 $\text{[math]}$ ．

综合题困难