如图，在矩形中，，点E是边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作交的延长线于点F，设．

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F，设 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长（用含a的代数式表示）；

(2) 连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形．

【考点】

平行四边形的判定与性质; 菱形的判定; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，平行四边形 $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上的两个动点，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 开始向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 开始向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 同时出发，且运动速度均为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 运动过程中不与点 $\text{[math]}$ 重合时，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；

(2) 若四边形 $\text{[math]}$ 为矩形，求动点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 运动时间．

综合题困难

2. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，点O是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 的延长线于点E，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．

综合题普通

3. 已知，平行四边形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 向两个方向延长，分别至点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，且使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

(2) 如图2，当 $\text{[math]}$ 时，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形面积都等于三角形 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ ．

综合题普通