如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点.

1. 如图， $\text{[math]}$ 是平行四边形 $\text{[math]}$ 的对角线， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

(1) 请用尺规作 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （要求保留作图痕迹，不写作法，在确认答案后，请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次）：

(2) 根据图形猜想四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整.

证明：∵四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，

∴ $\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$ ▲ .（两线平行，内错角相等）.

又∵ $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ .

∴ $\text{[math]}$ ▲ （）（填推理的依据）

又∵四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形.

∴ $\text{[math]}$ .

∴四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形（）（填推理的依据），

【考点】

平行四边形的判定与性质; 角平分线的概念; 尺规作图-作角的平分线;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形．

综合题普通

2. 如图，已知四边形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，DO＝BO，过点C作CE⊥AC，交BD的延长线于点E，交AD的延长线于点F，且满足∠DCE＝∠ACB．

(1) 求证：四边形ABCD是矩形；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ．

综合题普通

3. 已知，平行四边形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 向两个方向延长，分别至点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，且使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．

(2) 如图2，当 $\text{[math]}$ 时，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形面积都等于三角形 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ ．

综合题普通