已知抛物线.

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ .

(1) 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于A、B两点，O为坐标原点.

从下面的①②两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按所做的第一个计分.

①证明： $\text{[math]}$ .

②若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 已知点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于C、D两点（均异于点 $\text{[math]}$ ），且 $\text{[math]}$ .过 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，试问是否存在定点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为定值？若存在，求出定值；若不存在，说明理由.

【考点】

抛物线的标准方程; 抛物线的简单性质; 直线与圆锥曲线的关系; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题困难

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 且斜率为1的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于不同的两点 $\text{[math]}$

(1) 求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 若线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

解答题困难

2. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 到其准线的距离为5．不过原点的动直线交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，点M在准线l上的射影为N．

(1) 求抛物线C的方程；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求证：直线AB过定点．

解答题普通

3. 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足 $\text{[math]}$ PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时， $\text{[math]}$ .

(1) 求抛物线C的标准方程；

(2) 求证：点P在定直线上.

解答题普通