已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．

1. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 $\text{[math]}$ 两点．

(1) 求E的方程；

(2) 设过点 $\text{[math]}$ 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足 $\text{[math]}$ ．证明：直线HN过定点．

【考点】

恒过定点的直线; 椭圆的标准方程; 直线与圆锥曲线的关系;

【答案】

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解答题普通

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），与 $\text{[math]}$ 轴负半轴交于 $\text{[math]}$ ，离心率 $\text{[math]}$ .

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 设直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 并延长交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，已知 $\text{[math]}$ ，求证：直线 $\text{[math]}$ 恒过定点，并求出定点坐标.

解答题困难

2. 已知椭圆E： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的离心率为 $\text{[math]}$ ，F是E的右焦点，过点F的直线交E于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）.当直线 $\text{[math]}$ 与x轴垂直时， $\text{[math]}$ .

(1) 求椭圆E的方程；

(2) 设直线l： $\text{[math]}$ 交x轴于点G，过点B作x轴的平行线交直线l于点C．求证：直线 $\text{[math]}$ 过线段 $\text{[math]}$ 的中点.

解答题普通

3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且离心率为 $\text{[math]}$ .直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴正半轴和 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，与椭圆分别交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，各点均不重合且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，试证明:直线 $\text{[math]}$ 过定点并求此定点.

解答题困难