已知椭圆过点，且离心率为 .直线与轴正半轴和轴分别交于点、，与椭圆分别交于点、，各点均不重合且满足， .

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且离心率为 $\text{[math]}$ .直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴正半轴和 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，与椭圆分别交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，各点均不重合且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，试证明:直线 $\text{[math]}$ 过定点并求此定点.

【考点】

恒过定点的直线; 椭圆的标准方程;

【答案】

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解答题困难

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），与 $\text{[math]}$ 轴负半轴交于 $\text{[math]}$ ，离心率 $\text{[math]}$ .

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 设直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 并延长交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，已知 $\text{[math]}$ ，求证：直线 $\text{[math]}$ 恒过定点，并求出定点坐标.

解答题困难

2. 已知椭圆E： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的离心率为 $\text{[math]}$ ，F是E的右焦点，过点F的直线交E于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）.当直线 $\text{[math]}$ 与x轴垂直时， $\text{[math]}$ .

(1) 求椭圆E的方程；

(2) 设直线l： $\text{[math]}$ 交x轴于点G，过点B作x轴的平行线交直线l于点C．求证：直线 $\text{[math]}$ 过线段 $\text{[math]}$ 的中点.

解答题普通

3. 已知椭圆E： $\text{[math]}$ 中，a= $\text{[math]}$ b，且椭圆E上任一点到点 $\text{[math]}$ 的最小距离为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求椭圆E的标准方程；

(2) 如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l₁ ， l₂（l₁ ， l₂不重合）分别交椭圆E于点A，C，B，D，求证：|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．

解答题普通