把一个半径为3的圆，剪成三个完全一样的扇形（如图1所示），分别卷成相同的无底圆锥（衔接处忽略不计）

1. 把一个半径为3的圆，剪成三个完全一样的扇形（如图1所示），分别卷成相同的无底圆锥（衔接处忽略不计）

(1) 求一个圆锥的体积；

(2) 设这三个圆锥的底面的圆心分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将三个圆锥的顶点重合并紧贴一起，记顶点为P（如图2所示），求三棱锥 $\text{[math]}$ 的表面积.

【考点】

旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征; 棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用; 余弦定理;

【答案】

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解答题普通

1. 已知三棱锥 $\text{[math]}$ 的棱 $\text{[math]}$ 两两互相垂直，且 $\text{[math]}$ .

(1) 若点 $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；

(2) 若以顶点 $\text{[math]}$ 为球心，8为半径作一个球，球面与该三棱锥 $\text{[math]}$ 的表面相交，试求交线长是多少？

解答题普通

2. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为 $\text{[math]}$ .

(1) 求圆锥的底面积；

(2) 在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.

解答题普通

3. 如图，点 $\text{[math]}$ 为圆柱形木块底面的圆心， $\text{[math]}$ 是底面圆的一条弦，优弧 $\text{[math]}$ 的长为底面圆的周长的 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ 和母线 $\text{[math]}$ 的平面将木块剖开，得到截面 $\text{[math]}$ ，已知四边形 $\text{[math]}$ 的周长为40．

（Ⅰ）设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径（用x表示）；

（Ⅱ）求这个圆柱形木块剩下部分（如图一）侧面积的最大值．（剩下部分几何体的侧面积=圆柱侧面余下部分的面积 $\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 的面积）

解答题普通