已知数列的前项和为，各项均为正数的数列的前项积为，且，， .

1. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，各项均为正数的数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项积为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 证明： $\text{[math]}$ 为等比数列.

【考点】

等比数列概念与表示; 数列的递推公式;

【答案】

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解答题普通

1. 已知数列 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . 记 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和分别为 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ .记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，写出所有满足条件的数列 $\text{[math]}$ ，并说明理由；

(3) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ . 证明： $\text{[math]}$ ，

使得 $\text{[math]}$ .

解答题困难

2. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 若 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，求 $\text{[math]}$ .

解答题普通

3. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 成等比数列，求 $\text{[math]}$ 的值.

解答题普通