在平面直角坐标系内，已知三点，，，求：

1. 在平面直角坐标系内，已知三点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求：

(1) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) $\text{[math]}$ 的值；

(3) $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

向量的模; 平面向量的正交分解及坐标表示; 平面向量的坐标运算; 平面向量数量积的坐标表示; 数量积表示两个向量的夹角;

【答案】

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解答题普通

1. 设平面内两个非零向量 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，定义一种运算“ $\text{[math]}$ ”： $\text{[math]}$ ．试求解下列问题，

(1) 已知向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 在平面直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 已知向量 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

解答题困难

2. 设有 $\text{[math]}$ 维向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，称 $\text{[math]}$ 为向量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的内积.记 $\text{[math]}$ 为全体由 $\text{[math]}$ 和1构成的 $\text{[math]}$ 维向量的集合.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，写出所有满足条件的 $\text{[math]}$ ；

(2) 令 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 为偶数；

(3) 若 $\text{[math]}$ 表示能从 $\text{[math]}$ 中选出向量的个数的最大值，且满足选出的向量互相之间的内积均为0，猜测 $\text{[math]}$ 的值，并给出一个实例.

解答题困难

3. 已知点 $\text{[math]}$ 求

(1) $\text{[math]}$ 的模；

(2) $\text{[math]}$ 的面积.

解答题普通