如图，在正方形ABCD中，E是边AB上一动点（不与A、B重合），连接DE，交对角线AC于点F，过点F作DE的垂线分别交AD、BC于点M、N．

1. 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上一动点（不与A、B重合），连接DE，交对角线AC于点F，过点F作DE的垂线分别交AD、BC于点M、N．

(1) 根据题意，补全图形；

(2) 证明：FD＝FN；

(3) 直接写出BN和AF的数量关系．

【考点】

正方形的性质; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-ASA;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E是边 $\text{[math]}$ 上的一点，F是边 $\text{[math]}$ 延长线上的一点，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的度数．

综合题普通

(1) 数学课上，张老师给出了一个问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．小明经过思考展示了一种正确的解题思路：取AB的中点H，连接HE，则可以证明AE＝EF．

请你写出证明过程．

(2) 在此基础上，小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，请写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

(3) 如图3，如果点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立吗？直接写出结论，不用说明理由．

综合题困难

3. 如图一，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，点E是边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 交正方形外角的平分线 $\text{[math]}$ 于点F．

(1) 求证： $\text{[math]}$ （提示：取 $\text{[math]}$ 的中点G，连接 $\text{[math]}$ ）．

(2) 如图二所示，若把条件“点E是边 $\text{[math]}$ 的中点”改为“点E为 $\text{[math]}$ 上任意一点”，其他条件不变，那么结论 $\text{[math]}$ 是否成立呢？若成立，请你证明，若不成立，请说明理由．

(3) 如图三所示，若把条件“点E是边 $\text{[math]}$ 的中点”改为“点E为 $\text{[math]}$ 延长线上任意一点”，其他条件不变，那么结论 $\text{[math]}$ 是否成立呢？若成立，请你证明，若不成立，请说明理由．

综合题困难