如图，且，，且，，且，，平面，．

1. 如图 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

用空间向量研究直线与平面所成的角; 用空间向量研究二面角;

【答案】

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解答题普通

1. 三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求平面 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值；

(2) 点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ （不含端点）上的动点，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值的取值范围.

解答题普通

2. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上动点，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的余弦值.

解答题普通

3. 如图，已知矩形 $\text{[math]}$ 所在平面垂直于直角梯形 $\text{[math]}$ 所在平面于直线 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的二面角的余弦值；

(2) 线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值等于 $\text{[math]}$ ？若存在，试确定点 $\text{[math]}$ 的位置；若不存在，请说明理由.

解答题困难