设抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，已知，．

1. 设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线C的方程；

(2) 过焦点F作直线l交C于A，B两点，P为C上异于A，B的任意一点，直线 $\text{[math]}$ 分别与C的准线相交于D，E两点，证明：以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆经过x轴上的两个定点．

【考点】

抛物线的标准方程; 直线与圆锥曲线的关系;

【答案】

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解答题普通

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的准线的距离等于其到坐标原点 $\text{[math]}$ 的距离.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 设 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 的一条不垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直径，分别延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最小值.

解答题普通

2. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ，记动点P到直线l： $\text{[math]}$ 的距离为d，且 $\text{[math]}$ ，设点P的轨迹为曲线E．

(1) 求曲线E的方程；

(2) 直线m交曲线E于A，B两点，曲线E在点A及点B处的切线相交于点C．设点C到直线l的距离为h，若△ABC的面积为4，求证：存在定点T，使得 $\text{[math]}$ 恒为定值．

解答题普通

3. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为F，点 $\text{[math]}$ 为抛物线上一点，抛物线C在点 $\text{[math]}$ 处的切线与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的面积为2.

(1) 求抛物线的方程.

(2) 若斜率不为0的直线 $\text{[math]}$ 过焦点F，且交抛物线C于A，B两点，线段 $\text{[math]}$ 的中垂线与y轴交于点M.证明： $\text{[math]}$ 为定值.

解答题困难