在平面直角坐标系中，已知点，， C是线段的中点，P是平面内的一动点，且满足，记点P的运动轨迹为曲线E.

1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， C是线段 $\text{[math]}$ 的中点，P是平面内的一动点，且满足 $\text{[math]}$ ，记点P的运动轨迹为曲线E.

(1) 求曲线E的方程；

(2) 过点B的直线l与曲线E交于M，N两点，若△ $\text{[math]}$ 的面积是△ $\text{[math]}$ 的面积的3倍，求直线l的方程.

【考点】

直线和圆的方程的应用;

【答案】

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解答题普通

1. 在平面直角坐标系Oxy中，点M是以原点O为圆心，半径为a的圆上的一个动点.以原点O为圆心，半径为 $\text{[math]}$ 的圆与线段OM交于点N，作 $\text{[math]}$ 轴于点D，作 $\text{[math]}$ 于点Q.

(1) 令 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求点Q的坐标；

(2) 若点Q的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；

(3) 设（2）中的曲线C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正负半轴分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若点E､F分别满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的交点为K，设直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 及点 $\text{[math]}$ ，（其中 $\text{[math]}$ ），证明：点K到点H的距离与点K到直线l的距离之比为定值 $\text{[math]}$ .

解答题困难

2. 已知圆E：（x+ $\text{[math]}$ ）²+y²=16，点F（ $\text{[math]}$ ，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（Ⅰ）求动点Q的轨迹E的方程；

（Ⅱ）直线l过点（1，1），且与轨迹Γ交于A，B两点，点M满足 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，点O为坐标原点，延长线段OM与轨迹Γ交于点R，四边形OARB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．

解答题普通

3. 已知点 $\text{[math]}$ ，点P是圆 $\text{[math]}$ 上的任意一点，设Q为该圆的圆心，并且线段PA的垂直平分线与直线PQ交于点E．

(1) 求点E的轨迹方程；

(2) 已知M，N两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），点T是直线x=4上的一个动点，且直线TM，TN分别交（1）中点E的轨迹于C，D两点（M，N，C，D四点互不相同），证明：直线CD恒过一定点，并求出该定点坐标．

解答题困难