如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P是线段BC延长线上任意一点，以AP为直角边作等腰直角△APD，AD与BC相交于点K，且∠APD＝90°，连接BD.

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1. 如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P是线段BC延长线上任意一点，以AP为直角边作等腰直角△APD，AD与BC相交于点K，且∠APD＝90°，连接BD.

(1) 求证： $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ；

(2) 在点P运动过程中，试问∠PBD的度数是否会变化？若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势；

(3) 已知AB＝ $\text{[math]}$ ，设CP＝x，S_△PBD＝S，试求S关于x的函数表达式.

【考点】

三角形的面积; 勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是对角线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ；点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ，两点同时出发，设运动时间为 $\text{[math]}$ ，请回答下列问题．

(1) 当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ ？

(2) 当 $\text{[math]}$ 为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积等于矩形 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ ？

(3) 当 $\text{[math]}$ 为时， $\text{[math]}$ 是等腰三角形．

综合题普通

2. 2024年9月，济南港—寿光港集装箱业务的首船作业，标志着小清河复航业务再结硕果．集装箱搬运车是为了更高效地对集装箱进行搬运和叠放，当液压撑杆与吊臂垂直且吊臂完全伸展开时，集装箱搬运车的抓手可以达到最大高度．

如图1是抓手达到最大高度时的示意图，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交于点H， $\text{[math]}$ ．

(1) 求此时液压撑杆 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 已知吊臂 $\text{[math]}$ 最长为 $\text{[math]}$ ，抓手 $\text{[math]}$ ，某批集装箱的长宽高如图2所示，使用该款搬运车最多能将集装箱在地面上叠放几层?请通过计算说明．

综合题普通

3. 国际会议中心作为首届金熊猫奖举办地，位于天府总部商务核心区，是全球首例公园城市发展综合体，同时是亚洲最大的单体木制结构建筑，可同时容纳9000人参会．小明利用硬纸板自制 $\text{[math]}$ 测量国际会议中心 $\text{[math]}$ 的高度，他们通过调整位置，使斜边 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 在同一直线上（如图所示），另一条直角边 $\text{[math]}$ 与会议中心顶点 $\text{[math]}$ 在同一直线上，目测点到地面的距离 $\text{[math]}$ 米，到会议中心的水平距离 $\text{[math]}$ 米．已知 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，求会议中心 $\text{[math]}$ 的高度．

综合题普通