如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E.

1. 如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E.

(1) 求证：∠E= $\text{[math]}$ ∠C；

(2) 如图2，如果AE=AB，且BD：DE=2：3，求cos∠ABC的值；

(3) 如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数.

【考点】

三角形内角和定理; 三角形的外角性质; 相似三角形的性质; 锐角三角函数的定义; 角平分线的概念;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ B大小；

(2) 求DE的长度.

综合题普通

2. 如果三角形的两个内角 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ =90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

(1) 若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，求∠B的度数；

(2) 如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．

综合题普通

3. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，动点P从点B出发以1cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以2cm/s的速度向点A移动，其中一个点到终点另一个点也随之停止.设它们的运动时间为t.

(1) 根据题意知：CQ＝，CP＝；（用含t的代数式表示）；

(2) 运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？

综合题普通