如图，与等边的边，分别交于点，，是直径，过点作于点．

1. 如图， $\text{[math]}$ 与等边 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是直径，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线时，求 $\text{[math]}$ 的半径 $\text{[math]}$ 与等边 $\text{[math]}$ 的边长 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

【考点】

三角形全等的判定; 切线的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，AB为 $\text{[math]}$ 的直径，点C在 $\text{[math]}$ 上，连接AC，BC，过点O作 $\text{[math]}$ 于点D，过点C作 $\text{[math]}$ 的切线交OD的延长线于点E．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 连接AD．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求AD的长．

综合题普通

2. 如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．

(1) 求证：直线CD为⊙O的切线；

(2) 当AB＝2BE，且CE＝ $\text{[math]}$ 时，求AD的长．

综合题普通

3. 问题情境：小明和小丽共同探究一道数学题：如图①，在△ABC中，点D是边BC的中点，∠BAD = 65°，∠DAC = 50°，AD = 2，求AC的长为多少．

(1) 探索发现；

小明的思路是：延长AD至点E ，使DE = AD ，构造全等三角形．

小丽的思路是：过点C作CE∥AB ，交AD的延长线于点E ，构造全等三角形．

选择小明、小丽其中一人的方法解决问题情境中的问题．

(2) 类比应用：如图②，

在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点O是BD的中点，AB⊥AC．若∠CAD=45°，∠ADC = 67.5°，AO = 2，则BC的长为．

综合题普通