如图，在中，，，过点A作射线AM交射线BC于点D ，将AM绕点A逆时针旋转得到AN ，过点C作交直线AN于点F ，在AM上取点E ，使．

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点A作射线AM交射线BC于点D ，将AM绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到AN ，过点C作 $\text{[math]}$ 交直线AN于点F ，在AM上取点E ，使 $\text{[math]}$ ．

(1) 当AM与线段BC相交时，

①如图1，当 $\text{[math]}$ 时，线段AE ， CE和CF之间的数量关系为 ▲ ．

②如图2，当 $\text{[math]}$ 时，写出线段AE ， CE和CF之间的数量关系，并说明理由．

(2) 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ 是直角三角形，直接写出AF的长．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 三角形的综合; 三角形-动点问题;

【答案】

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综合题困难

1. 问题提出

如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？

(1) 问题探究

先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；

(2) 再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．

(3) 问题拓展

如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．

综合题困难

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D，E，F分别为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，将 $\text{[math]}$ 绕点D顺时针旋转一定角度，得到 $\text{[math]}$ ，当射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N时，连接 $\text{[math]}$ 并延长交射线 $\text{[math]}$ 于点M，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；

(3) 如图3，在（2）的条件下，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难

3. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点且不与A，B重合，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，向终点A运动，速度为每秒5个单位长度，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，分别过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平行线，两条直线交于点 $\text{[math]}$ ．设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分图形面积为S．

(1) 当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．

综合题困难