抛物线（）与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点.

1. 抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，且抛物线的对称轴为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为对称轴与 $\text{[math]}$ 轴的交点.

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 在 $\text{[math]}$ 轴上方且平行于 $\text{[math]}$ 轴的直线与抛物线从左到右依次交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 若 $\text{[math]}$ 是对称轴上一定点， $\text{[math]}$ 是抛物线上的动点，求 $\text{[math]}$ 的最小值（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）.

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数-动态几何问题; 二次函数的实际应用-几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ .

(1) 求b，c的值；

(2) P为第一象限抛物线上一点， $\text{[math]}$ 的面积与 $\text{[math]}$ 的面积相等，求直线AP的解析式；

(3) 在(2)的条件下，设E是直线BC上一点，点 $\text{[math]}$ 关于AE的对称点为点 $\text{[math]}$ ，试探究，是否存在满足条件的点 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 恰好落在直线BC上，如果存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；如果不存在，请说明理由.

综合题困难

2. 如图，二次函数的图象与x轴交于 $\text{[math]}$ ， B两点，与y轴交于点C ，且顶点为 $\text{[math]}$ ，连接BC.

图① 图②

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图①，在BC的上方抛物线上存在一点P ，已知P点的横坐标为t ，过点P作 $\text{[math]}$ 交BC于点Q ，则 $\text{[math]}$ 是否存在最大值，若存在求出最大值，若不存在请说明理由；

(3) 如图②，连接CA ，抛物线上是否存在点M ，使得 $\text{[math]}$ ，如果存在，请求出直线CM与x轴的交点坐标，不存在，请说明理由.

综合题困难

3. 小明发现有一处隧道的截面由抛物线的一部分和矩形构成，他对此展开研究：测得矩形的宽为 $\text{[math]}$ ，长为 $\text{[math]}$ ，最高处点P到地面的距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示抛物线上任一点到地面 $\text{[math]}$ 的高度， $\text{[math]}$ 表示抛物线上任一点到隧道一边 $\text{[math]}$ 的距离．

(1) 求抛物线的解析式．

(2) 为了保障货车在道路上的通行能力及行车安全，根据我国交通运输部的相关规定，普通货车的宽度应在 $\text{[math]}$ 之间，高度应在 $\text{[math]}$ 之间，小明发现隧道为单行道，一货车 $\text{[math]}$ 沿隧道中线行驶，宽 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，货车的最高处与隧道上部的竖直距离 $\text{[math]}$ 约为 $\text{[math]}$ ，通过计算，判断这辆货车的高度是否符合规定．

综合题普通