已知集合，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 中的元素个数 $\text{[math]}$ 大于等于5.若集合 $\text{[math]}$ 中存在四个不同的元素 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称集合 $\text{[math]}$ 是“关联的”，并称集合 $\text{[math]}$ 是集合 $\text{[math]}$ 的“关联子集”；若集合 $\text{[math]}$ 不存在“关联子集”，则称集合 $\text{[math]}$ 是“独立的”.

(1) 分别判断集合 $\text{[math]}$ 和集合 $\text{[math]}$ 是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；

(2) 已知集合 $\text{[math]}$ 是“关联的”，且任取集合 $\text{[math]}$ ，总存在 $\text{[math]}$ 的关联子集 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是等差数列；

(3) 集合 $\text{[math]}$ 是“独立的”，求证：存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .

【考点】

反证法;

【答案】

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解答题普通

1. 设函数 $\text{[math]}$ 的最大值为M.

(2) 若正数a ， b满足 $\text{[math]}$ ，请问：是否存在正数a ， b ，使得 $\text{[math]}$ ，并说明理由.

解答题普通

2. 设 $\text{[math]}$ 为正整数，若 $\text{[math]}$ 满足：① $\text{[math]}$ ；②对于 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ；则称 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ .对于 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，定义集合 $\text{[math]}$ .

(1) 设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ，写出一个及相应的 $\text{[math]}$ ；

(2) 设 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 是否可能为 $\text{[math]}$ ，若可能，写出一组 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，若不可能，说明理由；

解答题困难

3. 已知集合 $\text{[math]}$ 是集合 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的一个含有 $\text{[math]}$ 个元素的子集.

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，

设 $\text{[math]}$

（i）写出方程 $\text{[math]}$ 的解 $\text{[math]}$ ；

（ii）若方程 $\text{[math]}$ 至少有三组不同的解，写出 $\text{[math]}$ 的所有可能取值.

(2) 证明：对任意一个 $\text{[math]}$ ，存在正整数 $\text{[math]}$ 使得方程 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 至少有三组不同的解.

解答题普通