如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d的中间有小孔的两平行金属板M、N和边长为L的立方体构成，其后端面P为喷口。以金属板N的中心O为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴。M、N板之间存在场强为E、方向沿z轴正方向的匀强电场；立方体内存在磁场，其磁感应强度沿z方向的分量始终为零，沿x和y方向的分量和随时间周期性变化规律如图乙所示，图中可调。氙离子（）束从离子源小孔S射出，沿z方向匀速运动到M板，经电场加速进入磁场区域，最后从端面P射出，测得离子经电场加速后在金属板N中心点O处相对推进器的速度为v0。已知单个离子的质量为m、电荷量为，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量。

1. 如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d的中间有小孔的两平行金属板M、N和边长为L的立方体构成，其后端面P为喷口。以金属板N的中心O为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴。M、N板之间存在场强为E、方向沿z轴正方向的匀强电场；立方体内存在磁场，其磁感应强度沿z方向的分量始终为零，沿x和y方向的分量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 随时间周期性变化规律如图乙所示，图中 $\text{[math]}$ 可调。氙离子（ $\text{[math]}$ ）束从离子源小孔S射出，沿z方向匀速运动到M板，经电场加速进入磁场区域，最后从端面P射出，测得离子经电场加速后在金属板N中心点O处相对推进器的速度为v₀。已知单个离子的质量为m、电荷量为 $\text{[math]}$ ，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量。

(1) 求离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小v；

(2) 不考虑在磁场突变时运动的离子，调节 $\text{[math]}$ 的值，使得从小孔S射出的离子均能从喷口后端面P射出，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，单位时间从端面P射出的离子数为n，且 $\text{[math]}$ 。求图乙中 $\text{[math]}$ 时刻离子束对推进器作用力沿z轴方向的分力。

【考点】

动能定理的综合应用; 动量定理;

【答案】

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综合题困难

1. 如图所示，从A点以水平速度 $\text{[math]}$ 抛出质量 $\text{[math]}$ 的小物块P（可视为质点），当物块P运动至 $\text{[math]}$ 点时，恰好沿切线方向进入半径 $\text{[math]}$ 、圆心角 $\text{[math]}$ 的固定光滑圆弧轨道 $\text{[math]}$ ，轨道最低点 $\text{[math]}$ 与水平地面相切， $\text{[math]}$ 点右侧水平地面某处固定挡板上连接一水平轻质弹簧。物块P与水平地面间动摩擦因数 $\text{[math]}$ 为某一定值， $\text{[math]}$ 取 $\text{[math]}$ ，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力。求：

(1) 抛出点A距水平地面的高度 $\text{[math]}$ ；

(2) 若小物块P第一次压缩弹簧被弹回后恰好能回到 $\text{[math]}$ 点，求弹簧压缩过程中的最大弹性势能 $\text{[math]}$ 。

综合题普通

2. 如图所示，ABC为金属杆做成的轨道，固定在竖直平面内．轨道的AB段水平粗糙，BC段光滑，由半径为R的两段 $\text{[math]}$ 圆弧平滑连接而成．一质量 $\text{[math]}$ kg的小环套在杆上，在F＝1.8N的恒定水平拉力作用下，从A点由静止开始运动，经时间t=0.4s到达B点，然后撤去拉力F，小环沿轨道上滑，到达C处恰好掉落做自由落体运动．小环与水平直杆间动摩擦因数 $\text{[math]}$ ，重力加速度g取10m/s² ．求：

(1) 小环到达B点时的速度大小；

(2) 圆弧的半径R；

(3) 小环从C处下落到与AB等高处所用的时间．

综合题普通

3. 如图所示，竖直平面内的直角坐标系xOy中有一细杆OAB，OA段弯曲且光滑，曲线方程为 $\text{[math]}$ ， AB为直杆且与OA相切，B与一垂直于AB的挡板相连。可视为质点的开孔小球（孔的直径略大于杆的直径）套在细杆上，现将小球从O点以初速度 $\text{[math]}$ 沿x轴的正方向抛出，小球与挡板碰撞时无机械能损失。已知小球的质量0.1kg，A和B点的横坐标分别为8m和16m，小球与AB部分的动摩擦因数为0.75，g取 $\text{[math]}$ 。

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求小球第一次运动到A点时速度的大小；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求小球在AB杆上运动的总路程；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，求小球抛出瞬间对细杆的压力大小。

综合题困难