已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数图像上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数（，）的图像于点B，过点A作AE⊥ 轴于点E。

1. 已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数 $\text{[math]}$ 图像上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的图像于点B，过点A作AE⊥ $\text{[math]}$ 轴于点E。

(1) 如图1，过点B作BF⊥ $\text{[math]}$ 轴于点F，连结EF，

①若 $\text{[math]}$ ，求证：四边形AEFO是平行四边形；

②连结BE，若 $\text{[math]}$ ，求△BOE的面积。

(2) 如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的图像于点P，连结OP。

试探究：对于确定的实数 $\text{[math]}$ ，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由。

【考点】

平行四边形的判定; 相似三角形的判定与性质; 反比例函数图象上点的坐标特征; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，你添加的条件是；

(2) 添加了条件后，证明四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形.

综合题普通

2. 嘉琪同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图所示的▱ABCD，并写出了如下尚不完整的已知和求证．

(1) 补全已知和求证（在方框中填空）；

已知：如图，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=．

求证：四边形ABCD是四边形．

(2) 嘉琪同学想利用三角形全等，依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明．请你按她的想法完成证明过程．

综合题普通

3. 我们知道平行四边形那有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论

(1) 【发现与证明】

在▱ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．

结论1：B′D∥AC；

结论2：△AB′C与▱ABCD重叠部分的图形是等腰三角形．

…

请利用图1证明结论1或结论2．

【应用与探究】

在▱ABCD中，∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．

如图1，若AB= $\text{[math]}$ ，∠AB′D=75°，则∠ACB=，BC=；

如图2，AB=2 $\text{[math]}$ ，BC=1，AB′与CD相交于点E，求△AEC的面积；

(4) 已知AB=2 $\text{[math]}$ ，当BC的长为多少时，△AB′D是直角三角形？

综合题普通