已知二次函数 .

1. 已知二次函数 $\text{[math]}$ .

(1) 求证：二次函数的图象必过点 $\text{[math]}$ ；

(2) 若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在函数图象上， $\text{[math]}$ ，求该函数的表达式；

(3) 若该函数图象与x轴有两个交点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

【考点】

二次函数与一元二次方程的综合应用;

【答案】

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综合题困难

1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知抛物线 $\text{[math]}$ ．

(1) 求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求y的取值范围；

(3) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为该抛物线上的点，若 $\text{[math]}$ ，求a的取值范围．

综合题普通

2. 已知y关于x的二次函数y=x²-bx+ $\text{[math]}$ b²+b-5的图象与x轴有两个公共点.

(1) 求b的取值范围；

(2) 若b取满足条件的最大整数值，当m≤x≤ $\text{[math]}$ 时，函数y的取值范围是n≤y≤6-2m，求m，n的值；

(3) 若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，对应函数y的最小值为 $\text{[math]}$ ，求此时二次函数的解析式.

综合题困难

3. 平面直角坐标系中，抛物线C₁：y₁=x²-2mx+2m²-1，抛物线C₂：y₂=x²-2nx+2n²-1，

(1) 若m=2，过点A（0,7）作直线l垂直于y轴交抛物线C₁于点B、C两点.

①求BC的长；

②若抛物线C₂与直线l交于点E、F两点，若EF长大于BC的长。求出n的范围；

(2) 若m+n=k（k是常数），

①若 $\text{[math]}$ ，试说明抛物线C₁与抛物线C₂的交点始终在定直线上；

②求y₁+y₂的最小值（用含k的代数式表示）.

综合题困难