已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D.

1. 已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D.

(1) 如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I.求证：点I是△ABC的内心；

(2) 如图②，在（1）的条件下，若AD与BC交于点E.求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC=8，∠BAC＝120°，求△ABC内切圆半径的最大值.

【考点】

三角形的内切圆与内心; 圆的综合题; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，弦 $\text{[math]}$ 与直径 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

(1) 如图，求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 如图，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 延长线上， $\text{[math]}$ 切 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 如图，在 $\text{[math]}$ 的条件下，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难

2. 如图1，四边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为直径， $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图3，在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

综合题困难

3. 已知△ABC内接于⊙O ， AC是⊙O的直径，D是 $\text{[math]}$ 的中点．过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E ．

(1) 判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2) 若CF＝6，∠ACB＝60°，求阴影部分的面积．

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