某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点P，使得PA十PB的值最小.解法：如图1，作点A关于直线的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线的交点即为P，且PA＋PB的最小值为A'B. 请利用上述模型解决下列问题；

1. 某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线 $\text{[math]}$ 同旁有两个定点A、B，在直线 $\text{[math]}$ 上存在点P，使得PA十PB的值最小.解法：如图1，作点A关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线 $\text{[math]}$ 的交点即为P，且PA＋PB的最小值为A'B.

请利用上述模型解决下列问题；

(1) 如图2，ΔABC中，∠C=90°，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，作出点P，使得PA＋PE的值最小；

(2) 如图3，∠AOB=30°，M、N分别为OA、OB上一动点，若OP=5，求ΔPMN的周长的最小值.

【考点】

轴对称的应用-最短距离问题;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，P为 $\text{[math]}$ 内一定点，M、N分别是射线OA、OB上的点，

(1) 当 $\text{[math]}$ 周长最小时，在图中画出 $\text{[math]}$ （保留作图痕迹）；

(2) 在（1）的条件下，已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

综合题普通

2. 如图，在直角坐标系中，先描点A（1，1），点B（4，3），

(1) 点C是x轴上的一个动点，当AC+BC最小时，画出点C的位置；

(2) 在本题中你认为有用到如下那些数学道理，请把它挑选出来并填在横线上．

A：两点之间线段最短B：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等C：角平分线上的点到角两边的距离相等；D：三角形两边之和大于第三边

综合题普通

3. 如图，一牧童的家在点A处，他和哥哥一起在点C处放马，点A，C到河岸的距离分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且B，D两地间的距离为 $\text{[math]}$ .夕阳西下，弟兄俩准备从C点将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短.

(1) 他们应该将马赶到河边的什么地点？请在图中画出来；

(2) 请求出他们至少要走的路程.

综合题普通