在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．

1.

在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．

(1) 请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；

(2) 请画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁；

(3) 请在y轴上求作一点P，使△PB₁C的周长最小，并写出点P的坐标．

【考点】

勾股定理; 作图﹣轴对称; 轴对称的应用-最短距离问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图是 $\text{[math]}$ 的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为格点．在给定的网格中．

(1) 线段 $\text{[math]}$ 的长等于；

(2) 在给定的网格中画一个 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 关于某条直线对称，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为格点（画出一个满足题意的三角形并保留作图痕迹即可）．

综合题普通

2. 问题提出：在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．如何铺设使得管道长度较短？

方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 于点P）；图2是方案二的示意咨图，设该方案中管道长度为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ （其中点 $\text{[math]}$ 与点A关于l对称， $\text{[math]}$ 与l交于点P）．

(1) 在方案一中， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （用含a的式子表示）；

(2) 在方案二中，组长小宇为了计算 $\text{[math]}$ 的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （用含a的式子表示）．

(3) ①当 $\text{[math]}$ 时，比较大小： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （填“＞”、“＝”或“＜”）；

②当 $\text{[math]}$ 时，比较大小： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （填“＞”、“＝”或“＜”）；

(4) 请你参考方框中的方法指导，就a（当 $\text{[math]}$ 时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案还是方案二？

方法指导

当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较：

∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的符号相同．

当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ；

当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，即m=n；

当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，即m＜n；

综合题困难

3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，Q为AB的中点．动点P从点A出发沿折线AC--CB以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ，以PQ为边构造正方形PMNQ且边MN与点B始终在边PQ同侧．设点P的运动时间为t秒(>0)．

(1) 线段AB的长为

(2) 当点P在边AC上运动时，线段CP的长为 ▲ (用含t的代数式表示) ．

①当正方形PMNQ与△ABC重叠部分图形是正方形时，求t的取值范围．

②当边MN的中点落在△ABC的边上时，求正方形PMNQ的面积．

(3) 当点P不与点C重合时，作点C关于直线PQ的对称点C'当PC'⊥AB时，直接写出t的值．

综合题普通