已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D是△ABC内一点，且DB=DC，连接AD并延长，交BC于点E.

1. 已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D是△ABC内一点，且DB=DC，连接AD并延长，交BC于点E.

(1) 依题意补全图形；

(2) 求证：AD⊥BC．

【考点】

线段垂直平分线的判定;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，E是 $\text{[math]}$ 内一点，AE的延长线交BC于D，连接EB，EC，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求证：AD垂直平分线段BC．

综合题普通

2. 用直尺和圆规作一个 $\text{[math]}$ 的角．

作法：①作直线 $\text{[math]}$ ，在直线 $\text{[math]}$ 上任取一点 $\text{[math]}$ ；

②以 $\text{[math]}$ 为圆心，任意长为半径作弧，交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点；

③分别以 $\text{[math]}$ 为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的同样长为半径作弧，两弧在直线 $\text{[math]}$ 的上方交于点 $\text{[math]}$ ，作直线 $\text{[math]}$ ；

④作 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ；

所以 $\text{[math]}$ 即为所求作的 $\text{[math]}$ 角．

(1) 利用直尺和圆规依作法补全图形(保留作图痕迹)；

(2) 完成下面的证明．

证明：连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上（）(填推理的依据)．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上．

$\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ．

综合题普通

3. 已知，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，连接AC，BD．

(1) 请补全图形，并说明AC，BD的位置关系；

(2) 证明（1）中的结论.

综合题普通