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1. 已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

(1)

当点P与点Q重合时，如图1，写出QE与QF的数量关系，不证明；
(2)

当点P在线段AB上且不与点Q重合时，如图2，（1）的结论是否成立？并证明；
(3)

当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，如图3，此时（1）的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
【考点】
三角形的角平分线、中线和高;
【答案】

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综合题 困难
能力提升
真题演练
换一批
1.

定义：有两条边长的比值为 的直角三角形叫“潜力三角形”．如图，在△ABC中，∠B=90°，D是AB的中点，E是CD的中点，DF∥AE交BC于点F．

(1) 设“潜力三角形”较短直角边长为a，斜边长为c，请你直接写出 的值为；
(2) 若∠AED=∠DCB，求证：△BDF是“潜力三角形”；
(3) 若△BDF是“潜力三角形”，且BF=1，求线段AC的长．
综合题 困难
2. 已知梯形ABCD，请使用无刻度直尺画图．

(1)

在图1中画出一个与梯形ABCD面积相等，且以CD为边的三角形；
(2)

图2中画一个与梯形ABCD面积相等，且以AB为边的平行四边形．
综合题 普通
3.

如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）．

(1) 计算矩形EFGH的面积；
(2) 将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为 时，求矩形平移的距离；
(3) 如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1 ， 将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2 ， 设旋转角为α，求cosα的值．
综合题 普通