已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．（14分）（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|= c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为 $\text{[math]}$ ．（14分）

（I）求椭圆的离心率；

（II）设点Q在线段AE上，|FQ|= $\text{[math]}$ c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．

（i）求直线FP的斜率；

（ii）求椭圆的方程．

【考点】

直线的一般式方程; 椭圆的标准方程; 椭圆的简单性质; 直线与圆锥曲线的关系;

【答案】

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解答题困难

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的一个焦点 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点重合，且离心率为 $\text{[math]}$ .

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 过焦点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，满足 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.

解答题普通

2. 椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 上两动点 $\text{[math]}$ 使得四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，且平行四边形 $\text{[math]}$ 的周长和最大面积分别为8和 $\text{[math]}$ .

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 设直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的另一交点为 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆上时，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.

解答题普通

3. 若椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点在x轴上，离心率为 $\text{[math]}$ ，依次连接 $\text{[math]}$ 的四个顶点所得四边形的面积为40.

(1) 试求 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 若曲线M上任意一点到 $\text{[math]}$ 的右焦点的距离与它到直线 $\text{[math]}$ 的距离相等，直线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 的下顶点和右顶点， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与曲线M相交于点P、Q（点P在第一象限内，点Q在第四象限内），设 $\text{[math]}$ 的下顶点是B，上顶点是D，且 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.

解答题困难