如图所示，二次函数的图像（记为抛物线）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为，，且．

1. 如图所示，二次函数 $\text{[math]}$ 的图像（记为抛物线 $\text{[math]}$ ）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且过点 $\text{[math]}$ ，求该二次函数的表达式；

(2) 若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的判别式 $\text{[math]}$ ．求证：当 $\text{[math]}$ 时，二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与x轴没有交点．

(3) 若 $\text{[math]}$ ，点P的坐标为 $\text{[math]}$ ，过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的 $\text{[math]}$ 顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线 $\text{[math]}$ 交于点D，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

【考点】

一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数图象与坐标轴的交点问题; 相似三角形的判定与性质; 二次函数y=ax²+bx+c的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 下面是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务．

一元二次方程根与系数的关系

通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系．

从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根分别记为 $\text{[math]}$ ，则有恒等式 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．比较两边系数可得： $\text{[math]}$ ____， $\text{[math]}$ ____．

任务：

(1) 填空： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(2) 小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，

并补全推理过程．

解：对于一元二次方程 $\text{[math]}$ ，

当 $\text{[math]}$ 时，有两个实数根 $\text{[math]}$ ▲ ， $\text{[math]}$ ▲ ．

……

(3) 方程 $\text{[math]}$ 的两根之和为，两根之积为．

综合题普通

2. 若x₁ ， x₂是关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0的两个根，则x₁+x₂＝﹣ $\text{[math]}$ ，x₁•x₂＝ $\text{[math]}$ .现已知一元二次方程px²+2x+q＝0的两根分别为m，n.

(1) 若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；

(2) 若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值.

综合题普通

3. 设a，b是方程x²+2x﹣2019=0的两个不相等的实数根．

(1) a+b=；ab=；2a²+4a=；

(2) 求代数式a²+3a+b的值．

综合题普通