如图所示，某卫星先在轨道1上绕地球做匀速圆周运动，周期为T，一段时间后，在P点变轨，进入椭圆转移轨道2，在远地点Q再变轨，进入圆轨道3，继续做匀速圆周运动，已知该卫星在轨道3上受到地球的引力为在轨道1上时所受地球引力的，不计卫星变轨过程中的质量损失，则卫星从P点运动到Q点所用的时间为（）

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1. 如图所示，某卫星先在轨道1上绕地球做匀速圆周运动，周期为T，一段时间后，在P点变轨，进入椭圆转移轨道2，在远地点Q再变轨，进入圆轨道3，继续做匀速圆周运动，已知该卫星在轨道3上受到地球的引力为在轨道1上时所受地球引力的 $\text{[math]}$ ，不计卫星变轨过程中的质量损失，则卫星从P点运动到Q点所用的时间为（）

A. $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ T B. $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ T C. $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ T D. $\text{[math]}$ T

【考点】

开普勒定律;

【答案】

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单选题容易

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 地球的公转轨道接近圆，但哈雷彗星的绕日运动轨道则是一个非常扁的椭圆，如图所示。天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年。已知哈雷彗星轨道半长轴约为 $\text{[math]}$ （地球和太阳之间的距离为 $\text{[math]}$ ）。预计哈雷彗星下次回归将在（　　）

A. 2023年 B. 2049年 C. 2061年 D. 2081年

单选题容易

2. 开普勒第二定律告诉我们：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。如图所示，某行星绕太阳运动的轨道为椭圆，该行星在近日点A时的速度大小为v_A ，在远日点B时的速度大小为v_B ，则v_A、v_B的大小关系为（）

A. v_A>v_B B. v_A=v_B C. v_A<v_B D. 无法确定

单选题容易

3. 发现行星运动三大定律的科学家是（）

A. 牛顿 B. 伽利略 C. 卡文迪许 D. 开普勒

单选题容易

1. 如图，地球在椭圆轨道上运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。A、B、C、D是地球运动轨道上的四个位置，其中A距离太阳最近，C距离太阳最远；B和D点是弧线ABC和ADC的中点。则地球绕太阳（）

A. 做匀速率的曲线运动 B. 经过A点时的加速度最小 C. 从B经A运动到D的时间小于从D经C运动到B的时间 D. 从A经D运动到C的时间大于从C经B运动到A的时间

单选题普通

2. 某一人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为地球同步卫星绕地球轨道半径的 $\text{[math]}$ ，则此卫星运行的周期大约是（）

A. 6h B. 8.4h C. 12h D. 16.9h

单选题普通

3. 2022年10月7日，中国太原卫星发射中心在黄海海域使用长征十一号海射运载火箭，采用“一箭双星”方式，成功将微厘空间低轨导航试验卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。设两颗卫星轨道在赤道平面上，运行方向相同，运动周期也相同，其中a卫星为圆轨道，距离地面高度为 $\text{[math]}$ ， b卫星为椭圆轨道，近地点M距离地面高度为远地点N距离地面高度的一半，地球表面的重力加速度为g，a卫星线速度大小为v₁ ， b卫星在近地点M时线速度大小为v₂ ，在远地点N时线速度大小为v₃ ，地球半径为R，P点为两个轨道的交点。下列说法正确的是（　　）

A. b卫星远地点N距离地面高度为 $\text{[math]}$ B. b卫星从N点运动到M点时间为 $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. a、b两卫星在P点受到地球的引力相等

单选题普通

1. 2021年5月15日，我国自主研制的火星探测器“天问一号”着陆火星。如图所示，着陆火星前探测器成功进入环火星半长轴为 $\text{[math]}$ 的椭圆轨道，然后实施近火星制动，顺利完成“太空刹车”，被火星捕获，进入环火星半径为 $\text{[math]}$ 、周期为 $\text{[math]}$ 的圆形轨道。则关于“天问一号”探测器，下列说法正确的是（）

A. 探测器由椭圆轨道进入圆轨道应该在 $\text{[math]}$ 点加速 B. 探测器沿椭圆轨道从 $\text{[math]}$ 点运动到 $\text{[math]}$ 点机械能守恒 C. 探测器在 $\text{[math]}$ 点变轨前后，加速度将增大 D. 探测器沿椭圆轨道由 $\text{[math]}$ 点运动到 $\text{[math]}$ 点所需的最短时间为 $\text{[math]}$

多选题普通

2. 太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。如2021年8月2日土星冲日，8月20日木星冲日，9月14日海王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。下列说法正确的是（）

	地球	火星	木星	土星	天王星	海王星
轨道半径（ $\text{[math]}$ ）	1.0	1.5	5.2	9.5	19	30

A. 每年都会发生“天王星冲日”现象 B. 2022年会发生“土星冲日”现象 C. 木星相邻两次冲日的时间间隔约为火星的一半 D. 某一年可能出现两次“海王星冲日”现象

多选题普通

3. 如图，虚线I、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道，其中轨道I为与第一宇宙速度7.9km/s对应的近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2km/s对应的脱离轨道，a、b、c三点分别位于三条轨道上，b点为轨道Ⅱ的远地点，b、c点与地心的距离均为轨道I半径的2倍，则（）

A. 卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道I的2倍 B. 卫星经过a点的速率为经过b点的

倍 C. 卫星在a点的加速度大小为在c点的4倍 D. 质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能

多选题普通

1. 圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知，地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G。

(1) 如图1所示，卫星在近地轨道I上围绕地球的运动，可视作匀速圆周运动，轨道半径近似等于地球半径。求卫星在近地轨道I上的运行速度大小v。

(2) 在P点进行变轨操作，可使卫星由近地轨道I进入椭圆轨道Ⅱ。卫星绕地球沿椭圆轨道运动的情况较为复杂，我们可以借用开普勒第二定律（对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等）来研究。如图2所示，卫星在以地球为一个焦点的椭圆轨道上运动。已知：卫星经过M点时，其与地心的距离为r_M ，速度大小为v_M ，方向与r_M夹角为α；卫星经过N点时，其与地心的距离为r_N ，速度大小为v_N ，方向与r_N夹角为β；试求：v_M∶v_N

(3) 如图3所示，在地球表面，以与竖直方向成α角的方向发射一导弹，其初速度 $\text{[math]}$ 。已知导弹的运动遵循开普勒第二定律，发射后的轨迹为以地心为焦点的椭圆轨道的一部分，求导弹上升距地面的最大高度。（已知地球与其附近距地心r，质量为m的物体组成的系统具有的引力势能为 $\text{[math]}$ ，忽略空气阻力和地球自转的影响）。

解答题普通

2. 建立物理模型是解决实际问题的重要方法。

(1) 如图1所示，圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G。

①在P点进行变轨操作，可使卫星由近地轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ。卫星在椭圆轨道Ⅱ的近地点P的速度为 $\text{[math]}$ ，在远地点D的速度为 $\text{[math]}$ ，远地点D到地心的距离为r。请你选择合适的方法计算 $\text{[math]}$ 的数值；

②由开普勒定律可知：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值k都相等。卫星绕地球运行也遵从该规律，请你选择合适的轨道模型，根据牛顿运动定律推导卫星绕地球运行的k值表达式，并说明k值由什么决定？

(2) 我国首个火星探测器被命名为“天问一号”。为了简化问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道半径约为地球轨道半径的1.5倍。从地球表面向火星发射火星探测器，简单又比较节省能量的发射过程可简化为：先在地球表面使探测器加速并获得足够的动能，经过一系列调整使探测器成为一颗沿地球公转轨道近似为圆形运行的人造行星；然后使探测器在适当位置加速，经椭圆轨道（霍曼转移轨道）到达火星。

①已知取无限远处为引力势能零点，间距为r、质量分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的两质点组成的系统具有的引力势能可表示为： $\text{[math]}$ ，式中G为引力常量且大小已知。已知地球质量为M、半径为R，在如图2所示的坐标系中，纵轴表示引力势能，横轴表示质量为m的探测器到地心的距离r（ $\text{[math]}$ ）。请在该坐标系中定性画出地球与探测器组成的系统具有的引力势能函数曲线。静置于地面处的该探测器，至少需要获得多大速度（相对于地心，不考虑地球的自转和空气阻力及其他天体的影响），才能摆脱地球引力的束缚；

②如图3所示，请利用开普勒行星运动定律计算，判断当火星运行到哪个位置（A、B、C、D、E、F、G）附近时，在地球公转轨道上H点的探测器开始发射（即瞬间加速，加速时间可忽略），此后探测器仅在太阳引力作用下，可经霍曼转移轨道在I点到达火星。（可能需要用到的数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）