如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°，求AB的长．

1.

如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E为CD中点．

（Ⅰ）求证：B₁E⊥AD₁；

（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．

（Ⅲ）若二面角A﹣B₁E﹣A₁的大小为30°，求AB的长．

【考点】

空间中直线与直线之间的位置关系; 直线与平面平行的判定; 用空间向量研究二面角;

【答案】

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解答题普通

1. 已知直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ ， E，F分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点，D为棱 $\text{[math]}$ 上的点． $\text{[math]}$

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 为何值时，面 $\text{[math]}$ 与面DFE所成的二面角的正弦值最小?

解答题困难

2. 已知四棱锥P-ABCD ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ．

(1) 若F是PE中点，证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．

(2) 若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．

解答题普通

3. 在如图所示的直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D是BC上的点E是 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 平面DEA ．

(2) 若ABC为正三角形，D是BC的中点，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

解答题普通