已知Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是边AC上一点（不包括端点A、C），过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF∥AC，交AB于点F．设PC=x，PE=y．

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1. 已知Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是边AC上一点（不包括端点A、C），过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF∥AC，交AB于点F．设PC=x，

PE=y．

(1) 求y与x的函数关系式；

(2) 是否存在点P使△PEF是Rt△？若存在，求此时的x的值；若不存在，请说明理由．

【考点】

平行四边形的性质; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．

(1) 求证：△ADE∽△ABC；

(2) 若AD=3，AB=5，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

2. 如图，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度.

综合题普通

(1) 【问题情境建构函数】

如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ ，试用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ .

(2) 【由数想形新知初探】

在上述表达式中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 成函数关系，其图像如图2所示.若 $\text{[math]}$ 取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象.

(3) 【数形结合深度探究】

在“ $\text{[math]}$ 取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而增大；②函数值 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ ；③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图像上存在四点 $\text{[math]}$ ，使得四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形.其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

(4) 【抽象回归扩展总结】

若将（1）中的“AB=4”改成“ $\text{[math]}$ ”，此时 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式是 .一般地，当 $\text{[math]}$ 取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）.

综合题困难