对于无穷数列{ }与{ }，记A={ | = ， }，B={ | = ， }，若同时满足条件：①{ }，{ }均单调递增；② 且，则称{ }与{ }是无穷互补数列．

1. 对于无穷数列{ $\text{[math]}$ }与{ $\text{[math]}$ }，记A={ $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ }，B={ $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ }，若同时满足条件：①{ $\text{[math]}$ }，{ $\text{[math]}$ }均单调递增；② $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则称{ $\text{[math]}$ }与{ $\text{[math]}$ }是无穷互补数列．

(1) 若 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，判断{ $\text{[math]}$ }与{ $\text{[math]}$ }是否为无穷互补数列，并说明理由；

(2) 若 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 且{ $\text{[math]}$ }与{ $\text{[math]}$ }是无穷互补数列，求数列{ $\text{[math]}$ }的前16项的和；

(3) 若{ $\text{[math]}$ }与{ $\text{[math]}$ }是无穷互补数列，{ $\text{[math]}$ }为等差数列且 $\text{[math]}$ =36，求{ $\text{[math]}$ }与{ $\text{[math]}$ }得通项公式．

【考点】

数列的应用; 数列的求和;

【答案】

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解答题困难

1. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 保持 $\text{[math]}$ 中各项先后顺序不变，在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间插入 $\text{[math]}$ 个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值（用数字作答）．

解答题普通

2. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ ；

(2) 令 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 对于数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，的前n项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：

①为什么 $\text{[math]}$ 可以裂项相消？是因为此数列的第n，n＋1项有一定关系，即第n项的后一部分与第n＋1项的前一部分和为零

②不妨将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 也转化成第n，n＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得 $\text{[math]}$ ，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数

③将数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示成 $\text{[math]}$ 形式，然后运用“裂项相消法”即可！

聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握．

(1) （巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ；

(2) （创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．

解答题普通