已知△ABC是等边三角形．

1.

已知△ABC是等边三角形．

(1) 将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．

①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？（填“是”或“否”），∠BOE=度；

(2) 如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB= $\text{[math]}$ AB′，AC= $\text{[math]}$ AC′，连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．

【考点】

全等三角形的判定与性质; 等边三角形的性质; 旋转的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．

(1) 求∠DCE的度数；

(2) 若AB=4，CD=3AD，求DE的长．

综合题普通

2. 已知点P为线段 $\text{[math]}$ 上一点．将线段 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ；再将线段 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ；连接 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 中点M ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当点P在线段 $\text{[math]}$ 上时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，当点P不在线段 $\text{[math]}$ 上，写出线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系与位置关系，并证明．

综合题困难

3. $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形， $\text{[math]}$ 绕点C旋转，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 猜测发现：如图1， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否相等？若相等，加以证明；若不相等，请说明理由．

(2) 问题解决：若 $\text{[math]}$ 三点不在一条直线上，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 拓展运用：若 $\text{[math]}$ 三点在一条直线上（如图2），且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的边长分别为1和2， $\text{[math]}$ 的面积及 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难