设，，，，且， .

1. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影；

(3) 求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ .

【考点】

平面向量的坐标运算;

【答案】

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解答题普通

1. 设有 $\text{[math]}$ 维向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，称 $\text{[math]}$ 为向量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的内积.记 $\text{[math]}$ 为全体由 $\text{[math]}$ 和1构成的 $\text{[math]}$ 维向量的集合.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，写出所有满足条件的 $\text{[math]}$ ；

(2) 令 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 为偶数；

(3) 若 $\text{[math]}$ 表示能从 $\text{[math]}$ 中选出向量的个数的最大值，且满足选出的向量互相之间的内积均为0，猜测 $\text{[math]}$ 的值，并给出一个实例.

解答题困难

2. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求：

(1) $\text{[math]}$ ；

(2) $\text{[math]}$ .

解答题普通

3. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不共线，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ .

①求向量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值；

②当 $\text{[math]}$ 时，求实数 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通