已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2.

1. 已知斜率为1的直线与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 中点的横坐标为2.

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 设直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交抛物线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .除 $\text{[math]}$ 以外，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否有其它公共点？请说明理由.

【考点】

抛物线的标准方程; 抛物线的应用;

【答案】

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解答题普通

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，焦点为F，过 $\text{[math]}$ 作两条关于直线 $\text{[math]}$ 对称的直线分别交 $\text{[math]}$ 于A，B两点.

(1) 判断直线 $\text{[math]}$ 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点在抛物线 $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ 三个顶点的横坐标均小于2.

解答题普通

2. 设 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 过 $\text{[math]}$ 作两条互相垂直的直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最小值.

解答题普通

3. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 且倾斜角为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 被 $\text{[math]}$ 截得的弦长为16．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，若以 $\text{[math]}$ 为直径的圆过点 $\text{[math]}$ ，求该圆的方程．

解答题困难