如图，在矩形ABCD中，AB=18cm，AD=9cm，点M沿AB边从A点开始向B以2cm/s的速度移动，点N沿DA边从D点开始向A以1cm/s的速度移动．如果点M、N同时出发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤9），求：

1. 如图，在矩形ABCD中，AB=18cm，AD=9cm，点M沿AB边从A点开始向B以2cm/s的速度移动，点N沿DA边从D点开始向A以1cm/s的速度移动．如果点M、N同时出发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤9），求：

(1) 当t为何值时，∠ANM=45°？

(2) 计算四边形AMCN的面积，根据计算结果提出一个你认为合理的结论；

(3) 当t为何值时，以点M、N、A为顶点的三角形与△BCD相似？

【考点】

矩形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 已知：如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上一点（与 $\text{[math]}$ 不重合）， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似时，求 $\text{[math]}$ 的正切值；

(3) 如果 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 面积的2倍，求 $\text{[math]}$ 的长．

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2. 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的一点（与端点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 不重合）

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时，联结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长度；

(2) 如图2，当 $\text{[math]}$ 时，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 如图3，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式，并写出定义域.

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3. 如图1，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E在AB边上，且 $\text{[math]}$ .点F是BC边上的动点.将 $\text{[math]}$ 沿EF折叠得到 $\text{[math]}$ .直线GF与直线AB的交点为H.

(1) 如图2，点F与点C重合时，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积比；

(2) 如图3，当H在点A的上方，且满足三角形HEF是等腰三角形时，求线段EH的长.

(3) 在点F的运动过程中，以E、G、H为顶点的三角形能否与以B、C、D为顶点的三角形相似？若能，求BF的长；若不存在，请说明理由.

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