已知：如图，在矩形中，是对角线上一点（与不重合），平分交边于点，交于点．

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1. 已知：如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上一点（与 $\text{[math]}$ 不重合）， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似时，求 $\text{[math]}$ 的正切值；

(3) 如果 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 面积的2倍，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

矩形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的一点（与端点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 不重合）

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时，联结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长度；

(2) 如图2，当 $\text{[math]}$ 时，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 如图3，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式，并写出定义域.

综合题困难

2. 如图1，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E在AB边上，且 $\text{[math]}$ .点F是BC边上的动点.将 $\text{[math]}$ 沿EF折叠得到 $\text{[math]}$ .直线GF与直线AB的交点为H.

(1) 如图2，点F与点C重合时，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积比；

(2) 如图3，当H在点A的上方，且满足三角形HEF是等腰三角形时，求线段EH的长.

(3) 在点F的运动过程中，以E、G、H为顶点的三角形能否与以B、C、D为顶点的三角形相似？若能，求BF的长；若不存在，请说明理由.

综合题困难

3. 根据以下材料，完成探究任务．

利用相似三角形测高
发现、提出问题	期末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙 $\text{[math]}$ ，同学们提出问题如下：围墙 $\text{[math]}$ 的高度是多少米？
分析问题	结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作： ①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进间地面F点时，测得 $\text{[math]}$ ； ②当阳光恰从围墙最高点经窗户点D处射进地面E点时，测得 $\text{[math]}$ ．此外，测得：窗高 $\text{[math]}$ ，窗户距地面的高度 $\text{[math]}$ ．
解决问题	（1）求 $\text{[math]}$ 的长．（2）请利用上述数据，求出围墙 $\text{[math]}$ 的高度．

综合题普通