如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ.

1. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ.

(1) 观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由.

(2) 已知PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ.判断△PQC的形状，并说明理由.

【考点】

等边三角形的判定与性质; 勾股定理的逆定理; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，已知 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，其中点P运动的速度是 $\text{[math]}$ ，点Q运动的速度是 $\text{[math]}$ ，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ ，解答下列问题．

(1) $\text{[math]}$ _________ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ _________ $\text{[math]}$ ；（用含t的代数式表示）

(2) 如图①，点P与点Q运动的过程中， $\text{[math]}$ 能否成为等边三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理．

(3) 如图②，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点P、点Q在运动过程的某一时刻 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等，求此时 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

2. 如图， $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

对于 $\text{[math]}$ 所在平面内的点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 边上存在不同的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点在 $\text{[math]}$ 上或其内部，则称点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 关联点”．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上任意一点．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的中点时，在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，点是 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 关联点”；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上运动时，若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 关联点”，

$\text{[math]}$ 则所有点 $\text{[math]}$ 的纵坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围是；

$\text{[math]}$ 则所有点 $\text{[math]}$ 构成图形的周长是；

(3) 当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上运动时，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 关联点”，且 $\text{[math]}$ 是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

解答题困难

3. 老师布置了这样一道作业题：

在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，α＋β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．

小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造ΔABD的轴对称图形ΔABD^' ，连接CD^'（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．

图1 图2

（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB的度数；

（2）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决老师布置的这道作业题.

解答题困难