【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，，，，将直角三角形ABE绕A点逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、．【问题解决】

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1. 【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将直角三角形ABE绕A点逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 度（ $\text{[math]}$ ）点B、E的对应点分别为点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

【问题解决】

(1) 如图2，在旋转的过程中，点 $\text{[math]}$ 落在了AC上，求此时 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，如图3，得到 $\text{[math]}$ （此时 $\text{[math]}$ 与D重合），延长BE交 $\text{[math]}$ 于点F，

①试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；

②连接CE，求CE的长；

(3) 在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段 $\text{[math]}$ 长度的取值范围．

【考点】

三角形全等及其性质; 勾股定理; 正方形的判定与性质; 旋转的性质;

【答案】

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实践探究题困难

1. 综合与实践

小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：

课题	在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 $\text{[math]}$
模型抽象
测绘数据	①测得水平距离 $\text{[math]}$ 的长为15米．
	②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线 $\text{[math]}$ 的长为17米．
	③牵线放风筝的手到地面的距离 $\text{[math]}$ 为1.6米．
说明	点A，B，E，D在同一平面内

请根据表格信息，解答下列问题．

(1) 求线段 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 若想要风筝沿 $\text{[math]}$ 方向再上升12米，则在 $\text{[math]}$ 长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？

实践探究题普通

2. 【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a ， b ， c ，记 $\text{[math]}$ ，那么三角形的面积为 $\text{[math]}$ ．

【解决问题】：已知如图1在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

(1) 请你用“海伦-秦九韶公式”求 $\text{[math]}$ 的面积．

(2) 除了利用“海伦-秦九韶公式”求 $\text{[math]}$ 的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．

(3) 如图2，D是 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是．

实践探究题困难

3. 综合与实践

问题：给你两个大小不等的正方形，你能通过切割把他们拼接成一个大正方形吗？

下面是某研究小组的研究过程：

(1) 首先研究两个一样大小的正方形

把两个边长相等的正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ，按图1所示的方式摆放，沿虚线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 剪开后，可按图1所示的移动方式拼接成四边形形 $\text{[math]}$ ，则四边形形 $\text{[math]}$ 是正方形，请说明理由；

(2) 研究大小不等的两个正方形

把边长不等的两个正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ，按图2所示的方式摆放，连接 $\text{[math]}$ ，过点D作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点M ，过点M作 $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点N ．

①证明四边形 $\text{[math]}$ 是正方形；

②在图2中，将正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ 沿虚线剪开后，能够拼接为正方形 $\text{[math]}$ ，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）．

实践探究题困难