定义：若A、B、C为数轴上三个不同的点，若点C到点A的距离和点C到点B的距离的2倍的和为10，我们就称点C是的美好点．例如：点M、N、P表示的数分别为、2、0，则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那么点P是的美好点，而点P就不是的美好点．

1. 定义：若A、B、C为数轴上三个不同的点，若点C到点A的距离和点C到点B的距离的2倍的和为10，我们就称点C是 $\text{[math]}$ 的美好点．例如：点M、N、P表示的数分别为 $\text{[math]}$ 、2、0，则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那么点P是 $\text{[math]}$ 的美好点，而点P就不是 $\text{[math]}$ 的美好点．

(1) 若点M、N、P表示的数分别为3、6、7，则是[ ， ]的美好点．（空格内分别填入M、N、P）

(2) 若点M、P表示的数分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且P是 $\text{[math]}$ 的美好点，则点N为．

(3) 如图，数轴上A，B，C三点分别表示的数为 $\text{[math]}$ 、12、2，点Q从B点出发以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当它到达A点后立即以相同的速度返回往B点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在Q点出发的同时，点P从A点出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，直到当点P达到C点时，点P，Q停止运动．当t为何值时，点C恰好为 $\text{[math]}$ 的美好点？

【考点】

数轴上两点之间的距离; 数轴的动点往返运动模型;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【阅读材料】

数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系．

两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示．如图，在数轴上有理数a对应的点为A ，有理数b对应的点为B ，则A ， B两点之间的距离可表示为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，记为 $\text{[math]}$ ．

(1) 【解决问题】
数轴上有理数－6与1对应的两点之间的距离是；

(2) 数轴上有理数m与－4对应的两点之间的距离是（用含m的式子表示）；

(3) 若数轴上有理数n与－1对应的两点之间的距离是5，则 $\text{[math]}$ ．

(4) 【拓展应用】点M，N，P是数轴上的三个点，其中，点M表示的数为2，点N表示的数为－3，

点P表示的数为x．

若点P在点M ， N之间，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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2. 【问题背景】我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点到原点O的距离，这个结论可以推广为：|x₁﹣x₂|表示在数轴上数x₁ ， x₂对应点之间的距离．在数轴上，点A，B的位置如图1所示，AB＝|1﹣（﹣2）|＝3．

【问题解决】

(1) |2﹣（﹣3）|的几何意义是．

(2) 如果点C为数轴上一点，它所表示的数为x，点D在数轴上表示的数为﹣2，那么CD＝（用含x的代数式表示）．

(3) 运用一：代数式|x+1|+|x+4|的最小值为．

(4) 运用二：代数式|x﹣2|﹣|x+14|的最大值为．

(5) 运用三：已知|x﹣1|+|x+3|＝10，则x的值为．

(6) 运用四：如图2所示，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是﹣5，F点表示数是﹣2，G点表示数是6，点E，F，G开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为EF，点E与点G之间的距离表示为EG，点F与点G之间的距离表示为FG.4秒后，若 mFG﹣3EF的值是一个定值，试确定m的值．

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3. 同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：

(1) 求|4﹣（﹣2）|＝；

(2) 若|x﹣2|＝5，则x＝；

(3) 请你找出所有符合条件的整数x ，使得|1﹣x|+|x+2|＝3．

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