问题背景定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图，四边形中，是一条对角线，，，且，则与是关于的互补三角形．

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1. 问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是 $\text{[math]}$ ，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是一条对角线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的互补三角形．

(1) 初步思考：如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 外两点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等边三角形．则 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的互补三角形是，并说明理由．

(2) 实践应用：如图 $\text{[math]}$ ，在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 互补三角形，试求 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 思维探究：如图 $\text{[math]}$ ，在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，点 $\text{[math]}$ 是平面内一点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的互补三角形，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 运动过程中，线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 的长度是否会相等？若相等，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长；若不相等，请说明理由．

【考点】

勾股定理; 矩形的性质; 四边形-动点问题;

【答案】

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实践探究题困难

1. 定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．

了解性质：如图1：已知四边形ABCD中，AC⊥BD ．垂足为O ，则有：AB²+CD²＝AD²+BC²；

（图1）（图2）（图3）

（图4）（图5）

(1) 性质应用：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，若AD=2，BC=4，CD=3，则AB=；

(2) 性质变式：如图2，图3，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP²+CP²＝BP²+DP² ．请以图3为例将重要结论证明出来．

(3) 应用变式：①如图4，在矩形ABCD中，O为对角线交点，P为BO中点，则 $\text{[math]}$ ；(写出证明过程）

②如图5，在∆ABC中，CA=4，CB=6，D是∆ABC内一点，且CD=2，∠ADB=90°，则AB的最小值是．

实践探究题困难

2. 综合与实践

小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：

课题	在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 $\text{[math]}$
模型抽象
测绘数据	①测得水平距离 $\text{[math]}$ 的长为15米．
	②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线 $\text{[math]}$ 的长为17米．
	③牵线放风筝的手到地面的距离 $\text{[math]}$ 为1.6米．
说明	点A，B，E，D在同一平面内