如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA＝18，OC＝8 ， ∠AOC＝45°，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时，点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动时间为t ．

1. 如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA＝18，OC＝8 $\text{[math]}$ ， ∠AOC＝45°，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时，点Q以每秒 $\text{[math]}$ 个单位的速度从点O向点C运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动时间为t ．

(1) 求点C ， B的坐标；

(2) 当t为何值时，AP⊥CB？此时，在平面内是否存在点M ，使得以A ， P ， Q ， M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标．若不存在，请说明理由．

(3) 当t为何值时，△APQ的面积是平行四边形OABC面积的 $\text{[math]}$ ？

【考点】

勾股定理; 平行四边形的性质; 等腰直角三角形; 二次函数的实际应用-几何问题; 坐标系中的两点距离公式;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，Q为AB的中点．动点P从点A出发沿折线AC--CB以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ，以PQ为边构造正方形PMNQ且边MN与点B始终在边PQ同侧．设点P的运动时间为t秒(>0)．

(1) 线段AB的长为

(2) 当点P在边AC上运动时，线段CP的长为 ▲ (用含t的代数式表示) ．

①当正方形PMNQ与△ABC重叠部分图形是正方形时，求t的取值范围．

②当边MN的中点落在△ABC的边上时，求正方形PMNQ的面积．

(3) 当点P不与点C重合时，作点C关于直线PQ的对称点C'当PC'⊥AB时，直接写出t的值．

综合题普通

2. 在三角形中，一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差.

(1) 概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差为；在底边长为2的等腰三角形中，底角的勾股差为；

(2) 性质探究：如图1， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 的勾股差为 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 的勾股差为 $\text{[math]}$ ；

①求 $\text{[math]}$ 的值（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；

②试说明 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为相反数；

(3) 性质应用：如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题普通

3. 如图，△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=6，点E在点A右侧，AE=3，∠CAE=45°。

(1) 求证：△BCE≌△ACD；

(2) 求AD的长。

综合题普通