如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ .

(1) 请直接写出点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，当 $\text{[math]}$ 取何值时， $\text{[math]}$ 的面积最大？并求出 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

(3) 点 $\text{[math]}$ 是抛物线上的动点，作 $\text{[math]}$ // $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.