如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.若线段的长满足，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线.如图，抛物线为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C.且

1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.若线段 $\text{[math]}$ 的长满足 $\text{[math]}$ ，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线.如图，抛物线 $\text{[math]}$ 为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C.且 $\text{[math]}$

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 若P为 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的动点，过点P作 $\text{[math]}$ ，垂足为D.

①求 $\text{[math]}$ 的最大值；

②连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似时，求点P的坐标.

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 相似三角形的性质; 锐角三角函数的定义; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数y=ax²+bx+c的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 2024年3月4日，跳水世界杯蒙特利尔站女子十米台，中国队选手包揽冠亚军，出色的表现，再次向世界展示了中国跳水队的卓越实力．如图，建立平面直角坐标系xOy．如果运动员从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，那么从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式 $\text{[math]}$ ．

(1) 在平时训练完成一次跳水动作时，运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：

水平距离 $\text{[math]}$	3	3.5	4	4.5
竖直高度 $\text{[math]}$	10	__________	__________	6.25

①求抛物线的解析式．

②补全表格．

(2) 信息一：运动员起跳后达到最高点B，点B到水面的高度为km，从到达最高点B开始计时，则她到水面的距离 $\text{[math]}$ 与时间 $\text{[math]}$ 之间满足 $\text{[math]}$ ．

信息二：已知运动员在到达最高点后，在落水前至少需要 $\text{[math]}$ 的时间才能完成极具难度的跳水动作．

①请通过计算说明，在（1）的这次训练中1，运动员能否顺利完成极具难度的跳水动作？

②运动员进行第二次跳水训练，此时她们竖直高度 $\text{[math]}$ 与水平距离 $\text{[math]}$ 的关系为 $\text{[math]}$ ．若她在到达最高点后要顺利完成极具难度的跳水动作，则n的取值范围是__________ ．

综合题普通

2. 如图，小车从点A出发，沿与水平面成 $\text{[math]}$ 角光滑斜坡 $\text{[math]}$ 下滑，在下滑过程中小车速度逐渐增加，设小车出发点A离水平地面 $\text{[math]}$ 的高度为h，小车从点A滑行到最低点B所用的时间为t（秒），小车滑行到点B时的速度为v（厘米/秒）．速度v与时间t满足关系： $\text{[math]}$ ，高度h与时间t满足关系： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， g是常数），当小车出发点小车出发点A离水平地面 $\text{[math]}$ 的高度为20（厘米）时，小车从点A滑到最低点B需要2秒．

(1) 当小车出发点A离水平地面 $\text{[math]}$ 的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要几秒钟？此时小车到达B点时的速度是多少？

(2) 小车继续在粗糙的水平地面 $\text{[math]}$ 上滑行，设滑行的距离为s（厘米），小车从斜坡滑行到点B时速度为v（厘米/秒），小车在水平地面 $\text{[math]}$ 上滑行的时间为T（秒），若s与v，T之间满足以下关系： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， a是常数），当 $\text{[math]}$ （厘米/秒）时， $\text{[math]}$ （厘米）， $\text{[math]}$ （秒）．如果把小车出发点A离水平地面 $\text{[math]}$ 的距离h提高到125厘米，那么当滑行到时间 $\text{[math]}$ 秒时，小车在水平地面 $\text{[math]}$ 上滑行的距离为多少？

综合题普通

3. 小明周末来到小湖边玩打水漂的游戏，打出的水漂呈抛物线形状．小明站在岸边向湖中抛出一个石片，石片在距离小明 $\text{[math]}$ 远的水面重新弹了起来，当石片运动到距小明 $\text{[math]}$ 时，达到了最大高度 $\text{[math]}$ ，以小明所在的位置为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的表达式为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是石片距小明的水平距离， $\text{[math]}$ 是石片距水面的高度．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 若在距离小明 $\text{[math]}$ 的水面上有5艘小艇并排紧靠着，每艘小艇的高度为 $\text{[math]}$ ，宽度为 $\text{[math]}$ （小艇之间的间隙及浮力忽略不计），则石片在弹起运行的过程中，能否越过这5艘小艇重新落入水中？

综合题普通