如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形边CB、CD上，连接AF，取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．

1. 如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形边CB、CD上，连接AF，取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．

(1) 连接AE，则△AEF是三角形，MD、MN的数量关系是．

(2) 如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则MD、MN的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

(3) 将图1中正方形ABCD及直角三角板ECF同时绕点C顺时针旋转90°，如图3，其他条件不变，则MD、MN的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

【考点】

正方形的性质; 三角形的中位线定理; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 如图 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是对角线，等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 当等腰 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 落在正方形 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 边上，如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 请探究线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明你的结论．

综合题困难

2. 如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ 为边向外作正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点M．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图2，将正方形 $\text{[math]}$ 绕C点旋转，当F落在边 $\text{[math]}$ 上时（点D旋转到 $\text{[math]}$ ），请直接写出 $\text{[math]}$ 的长为．

综合题困难

3. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别从 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 同时出发，点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度由 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 运动，点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度由 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．

(1) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 分别用含有 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ；

(2) 当四边形 $\text{[math]}$ 的面积是四边形 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ 倍时，求出 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 当点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与四边形 $\text{[math]}$ 的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通