如图1，在矩形中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连接交于点N，连接交于点M．

1. 如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ 为边向外作正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点M．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图2，将正方形 $\text{[math]}$ 绕C点旋转，当F落在边 $\text{[math]}$ 上时（点D旋转到 $\text{[math]}$ ），请直接写出 $\text{[math]}$ 的长为．

【考点】

正方形的性质; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别从 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 同时出发，点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度由 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 运动，点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度由 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．

(1) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 分别用含有 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ；

(2) 当四边形 $\text{[math]}$ 的面积是四边形 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ 倍时，求出 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 当点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与四边形 $\text{[math]}$ 的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

2. 我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”

(1) 如图1，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝270°，∠D＝30°，AB＝BC，求证：四边形ABCD是“准筝形”；

(2) 小军同学研究 “准筝形”时，思索这样一道题：如图2，“准筝形”ABCD，AD＝BD，∠BAD＝∠BCD＝60°，BC＝5，CD＝3，求AC的长.

小军研究后发现，可以CD为边向外作等边三角形，构造手拉手全等模型，用转化的思想来求AC. 同学，请你按照小军的思路求的AC的长.

(3) 如图3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，BC＝2 $\text{[math]}$ ，设D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积．

综合题困难

3. 已知，如图， $\text{[math]}$ 为坐标原点，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，动点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上以每秒2个单位长的速度由点 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 运动．设动点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．

(1) 当 $\text{[math]}$ 为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；

(2) 在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值，并求出 $\text{[math]}$ 点的坐标；若不存在，请说明理由．

(3) 在线段 $\text{[math]}$ 上有一点 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，直接写出四边形 $\text{[math]}$ 的周长的最小值，并在图上画图标出点 $\text{[math]}$ 的位置．

综合题困难