湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024届高三下学期开学摸底考试数学试卷

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共 19 题 ; 4人浏览 ; 高三下学期

2024-09-13

发布测评 / 在线自测

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(共8题，共0分)

1. (2024高二下·夷陵月考)从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为（）

A. 240 B. 216 C. 180 D. 108

单选题容易

2. 已知 $\text{[math]}$ 是等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A. 22 B. 33 C. 40 D. 44

单选题容易

3. 已知双曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的离心率为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题容易

4. 设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是两条不同的直线， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

单选题普通

5. 我们定义一种新函数：形如 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数 $\text{[math]}$ 的图象，如图所示，下列结论错误的是（）

A. 图象具有对称性，对称轴是直线 $\text{[math]}$ B. 当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，函数值y随x值的增大而增大 C. 当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，函数最小值是0 D. 当 $\text{[math]}$ 时，函数的最大值是4

单选题普通

6. 八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .给出下列结论，其中正确的结论为（）

A. $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为与 $\text{[math]}$ 同向的单位向量）

单选题普通

7. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

8. 设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线上一点且 $\text{[math]}$ 在第一象限， $\text{[math]}$ ，若将直线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到直线 $\text{[math]}$ ，且直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ （）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题，共0分)

9. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A. $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 C. $\text{[math]}$ 是偶函数 D. 不等式 $\text{[math]}$ 的解集是 $\text{[math]}$

多选题普通

10. 若复数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则下列正确的是（）

A. 当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为实数 B. 若 $\text{[math]}$ 为纯虚数，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C. 若复数 $\text{[math]}$ 对应的点位于第二象限，则 $\text{[math]}$ D. 若复数z对应的点位于直线 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

多选题普通

11. 已知函数 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有从小到大排列的四个不同的实数根 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

多选题普通

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(共3题，共0分)

12. 已知多项式 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

填空题普通

13. 已知底面为正方形的四棱锥 $\text{[math]}$ 的五个顶点在同一个球面上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的体积为．

填空题普通

14. (2024高二下·夷陵月考)已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中的最大值，若函数 $\text{[math]}$ 有3个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

填空题困难

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.(共5题，共30分)

15. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所对的边长分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

（2）是否存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为钝角三角形?若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由．

解答题普通

16. 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为4的菱形， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

解答题普通

17. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的右顶点为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 设椭圆的左焦点和左顶点分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线与C交于M，N两点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点P，证明：点P在定直线上．

解答题困难

18. 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；

（2）设 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ）是函数 $\text{[math]}$ 的两个极值点，证明： $\text{[math]}$ 恒成立.

解答题困难

19. 每年6月中旬到7月中旬，长江中下游区域内会出现一段连续阴雨天气，俗称“梅雨期”.依据某地 $\text{[math]}$ 河流“梅雨期”的水文观测点的历史统计数据，所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示.

(1) 以频率作为概率，试求 $\text{[math]}$ 河流在“梅雨期”水位的第80百分位数并估计该地在今年“梅雨期”发生1级灾害的概率；

(2) 该地 $\text{[math]}$ 河流域某企业，在今年“梅雨期”，若没受1，2级灾害影响，利润为1000万元；若受1级灾害影响，则亏损200万元；若受2级灾害影响则亏损2000万元.

现此企业有如下三种应对方案：

方案	防控等级	费用（单位：万元）
方案一	无措施	0
方案二	防控1级灾害	80
方案三	防控2级灾害	200

试问，若仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？并说明理由.

解答题普通