如图，在长方体中，点是棱的中点，点在棱上，且（为实数）．

1. 如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为实数）．

(1) 求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值的大小；

(3) 求证：直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 不可能垂直．

【考点】

空间向量的数量积运算; 空间向量的夹角与距离求解公式; 平面的法向量; 空间向量垂直的坐标表示; 直线与平面所成的角;

【答案】

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解答题困难

1. 已知正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点O， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.

(1) 求正三棱柱的侧棱长；

(2) 求向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值.

解答题普通

2. 在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的正三角形， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ .

(1) 试在棱 $\text{[math]}$ 上确定一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 当点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 中点时，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小的正弦值。

解答题普通